Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Es importante conocer este tipo de ecuaciones y dominarlas, ya que sirven para resolver una gran variedad de problemas, los cuales se pueden trazar e interpretar gráficamente.

Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son conocidas como ecuaciones indeterminadas, ya que tienen una infinidad de soluciones. También se les conoce como ecuaciones lineales, en virtud de que su gráfica es una línea recta.

Los problemas que aquí se plantean ayudarán a comprender más fácilmente las ecuaciones con dos incógnitas, por ejemplo:

1. René realizó 2 exámenes y su maestro le dijo que la suma de sus dos calificaciones era 10. ¿Qué calificación obtuvo René en cada examen?

Los datos desconocidos se indicarón con dos literales: el primer examen se identifica con la x y el segundo examen con la y, por lo tanto se formula la siguiente ecuación:

x + y = 10

Hay que buscar los valores de las literales, por lo que se procede a despejar y y asignarle valores arbitrarios a x.

Despejando y, se obtiene:

y = 10 - x

Al dar valores arbitrarios a x, se efectuarán las operaciones y se obtendrán los valores de y, para esto se construirá una tabla que refleje algunas soluciones.

Donde:

y = 10 - x

si x = 0 si x = 6 si x = 8 si x = 10

y = 10 - 0 y = 10 - 6 y = 10 - 8 y = 10 - 10

y = 10 y = 4 y = 2 y = 0

Como puede observarse, éstas son algunas de las soluciones para el problema planteado:

a) Si en el primer examen obtuvo cero, en el segundo la calificación fue de diez.

b) Si en el primer examen obtuvo seis, en el segundo la calificación fue de cuatro.

c) Si en el primer examen obtuvo ocho, en el segundo la calificación fue de dos.

d) Si en el primer examen obtuvo diez, en el segundo la calificación fue de cero.

De lo anterior, se observa que para cualquier valor asignado a x existe uno para y, por lo que no hay una solución única para el problema.

Si se considera que cada pareja de valores corresponde a las coordenadas de algunos puntos, la tabulación quedará así:

Y su representación gráfica es la siguiente:

Como puede apreciarse en la gráfica, la solución de la ecuación es una línea recta, donde cada uno de los puntos de la línea resultante representa una pareja de coordenadas de x y y que hacen verdadera la ecuación.

2. Esperanza va a comprar un vestido que cuesta $250, el cual va a pagar con monedas de $20 y $ 10. ¿Cuántas monedas de $20.00 y $ 10.00, necesitará para comprar el vestido?

Al analizar el problema se sabe que se necesitan x monedas de $20.00, así como y monedas de $ 10.00, quedando la ecuación:

20x + 10y = 250

Este problema tiene muchas soluciones que pueden satisfacer las condiciones dadas. En la siguiente tabla, se dan diferentes valores a las incógnitas para apreciar las diversas soluciones que tiene:

De las soluciones consideradas se obtienen algunas parejas de valores de x, y, que satisfacen lo requerido en la ecuación del problema y, si se considera que esas parejas son coordenadas de puntos, se tiene la siguiente tabulación:

Con los puntos A, B, C, D y E se obtiene una línea, quedando la representación gráfica así:

Mediante la gráfica trazada se pueden dar diversas lecturas a las respuestas de la pregunta del problema, por ejemplo:

Se necesitan doce monedas de $20.00 y una de $10.00 para pagar los $ 250.00

o bien

Se necesitan nueve monedas de $ 20.00 y siete de $10.00 para pagar los $250.00

Por todo lo anterior se puede decir que es importante conocer, dominar y aplicar las ecuaciones con dos incógnitas, para resolver muchos de los problemas que pueden tener varias soluciones.

 REFERENCIA: http://www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/curso2/htmlb/SEC_51.HTM

 

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Método de sustitución

2 x - y = - 5

4 x + 2 y = 14

a)

2 y = 14 - 4 x

y = 14 / 2 - 4 x / 2

y = 7 - 2 x

b)

2 x - y = 5

2 x - (7 - 2 x ) = 5

2 x - 7 + 2 x = 5

4 x - 7 = 5

4 x = 5 + 7

x = 12 / 4

x = 3

Encontrar el valor de y

a) Tomar cualquiera de las 2 ecuaciones dadas

2 x - y = - 5

b) Reemplazar por el valor de x

2. 3 - y = - 5

6 - y = -5

- y = - 5 - 6

- y = -11

(- 1). ( - y) = ( - 1 ). ( - 11)

y = 11

Método de igualación

x + 3 y = 11

x - 9 y = - 13

a)

x+ 3 y = 11

x₁ = 11 - 3 y [1]

x - 9 y = - 13

x₂ = - 13 + 9 y [2]

b)

Se igualan las ecuaciones

x₁ = x₂

Reemplazando

11 - 3 y = - 13 + 9 y

Se agrupan los números que contienen y y los números independientes

11 + 13 = 9 y + 3 y

24 = 12 y

24 / 12 = y

2 = y

c)

Tomar cualquiera de las 2 ecuaciones dadas

x + 3 y = 11

Reemplazar por el valor y encontrado

x + 3. 2 = 11

x + 6 = 11

x = 11 - 6

x = 5

Método de reducción por adición y sustracción

- 9 x - 12 y = 14

30 x + 6 y = - 58

a)

30 x + 6 y = - 58

(2).30 x + 6 y = - 58

60 x + 12 y = - 116

b)

- 9 x - 12 y =  14

60 x + 12 y =  - 116

51 x + 0      =  102

x = 102 / 51

x = 2

c)

Tomar cualquiera de las 2 ecuaciones dadas

- 9 x - 12 y = 14

Reemplazar por el valor x  encontrado

- 9 . 2 - 12 y = 14

- 18 - 12 y = 14

-12 y = 14 + 18

y = 32 / -12

y = - 8 /3

REFERENCIA: http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/ecuaciones.htm

TRINOMIO AL CUADRADO

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c

(x² − x + 1)² =

= (x²)² + (−x)² + 1² +2 · x² · (−x) + 2 x² · 1 + 2 · (−x) · 1 =

= x⁴ + x² + 1 − 2x³ + 2x² − 2x =

= x⁴ − 2x³ + 3x² − 2x + 1

REFERENCIA: http://www.ditutor.com/polinomios/trinomio_cuadrado.html

BINOMIO AL CUBO

Binomio al cubo

Binomio de suma al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

(a + b)³ = a³ + 3 · a² · b + 3 · a · b² + b³

(x + 3)³ = x ³ + 3 · x² · 3 + 3 · x· 3² + 3³ =

= x ³ + 9x² + 27x + 27

Binomio de resta al cubo

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.

(a − b)³ = a³ − 3 · a² · b + 3 · a · b² − b³

(2x − 3)³ = (2x)³ − 3 · (2x)² ·3 + 3 · 2x· 3² − 3³ =

= 8x ³ − 36 x² + 54 x − 27

REFERENCIA: http://www.ditutor.com/polinomios/binomio_cubo.html

TRIÁNGULO DE PASCAL

El Triángulo de Pascal o Tartaglia tiene un origen, como en muchos otros casos, muy anterior al de estos dos matemáticos . Se tienen referencias que datan del siglo XII en China. De hecho, algunas de sus propiedades ya fueron estudiadas por el matemático chino Yang Hui (siglo XIII), así como el poeta persa Omar Khayyam (siglo XII).

El que se le asocie el nombre del filósofo, matemático Pascal (1623-1662) se debe a que el francés escribió el primer tratado sobre el triángulo. Lo deTartaglia (1500-1557) viene porque el italiano fue de los primeros que lo publicaron en Europa.

Triángulo de Pascal y números Combinatorios

Los números del triángulo de Pascal coinciden con los números combinatorios.
El número combinatorio C^m _n (n sobre m) se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1. El número combinatorio C^m _n (n sobre m) que representa el número de grupos de m elementos que pueden hacerse de entre un conjunto de n (por ejemplo, (4 sobre 2) nos da el número de parejas distintas que podrían hacerse en un grupo de cuatro personas), se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1.

1            1    1         1    2    1      1    3    3    1    1    4    6    4    1 1   5   10  10    5   1             ...

Podemos saber que el número de parejas posibles que decíamos antes es 6 si miramos el tercer número de la quinta fila.

 

Esto hace que el triángulo sea útil como representación de estos números, y proporciona una buena forma de intuir sus propiedades.

Por el contrario, a la fórmula de los números combinatorios se le puede dar el carácter de fórmula general del triángulo para saber, sin necesidad de construir todas las filas anteriores, cuál es el número que ocupa un lugar determinado,:

Triángulo de Pascal y Binomio de Newtón

La fórmula general del llamado Binomio de Newton (a + b)ⁿ está formada por unos coeficientes que coinciden con la línea número n+1 del triángulo de Pascal (la que empieza por 1 y n).

La fórmula es:
 

Una forma de evitar tener que calcular uno a uno todos los coeficientes es utilizar el Triángulo de Pascal, ya que los coeficientes de la potencia n aparecen en la fila n+1 de dicho triángulo.

Un ejemplo: aplicando la fórmula y la definición de número combinatorio tendríamos:
          (a + b)³ = 1·a³ + 3·a²b + 3·ab² + 1·b³.

Pero hubiese sido más rápido ir a la fila 4 (3 + 1 ) del triángulo y ver que los números que aparecen son, precisamente, los coeficientes 1, 3, 3 y 1.

Más propiedades del triángulo de Pascal:

Lo difícil es mirar este triángulo durante un par de minutos y no encontrarle alguna regularidad oculta.

• Números poligonales
  
  
  
  
  
  
  En la diagonal tercera marcada aparecen:

• los números triangulares
  , pero además en la inmediata inferior aparecen los números tetragonales, es decir, los que forman las pirámides triangulares, cuyos pisos son a su vez números triangulares.
  
  
   
• Los números cuadrados

se encuentran en el triángulo de Pascal recurriendo a la misma diagonal que en el caso anterior: construimos cada uno sumando dos números triangulares consecutivos. Eso nos proporciona: 1, 4, 9, 16, 25, ...
De hecho, por este método recurrente podemos construir todos los números poligonales, y en ese sentido están presentes en el triángulo de Pascal.

         Números primos

Si el primer elemento de una fila es un número primo, todos los números de esa fila serán divisibles por él (menos el 1, claro). Así, en la fila 7: (1 7 21 35 35 21 7 1), los números 7,21 y 35 son divisibles por 7.

• La suma de los elementos
  La suma de los elementos de cualquier fila es el resultado de elevar 2 al número que define a esa fila. Así:
  2⁰ = 1
  2¹ = 1+1 = 2
  2² = 1+2+1 = 4
  2³ = 1+3+3+1 = 8
  2⁴ = 1+4+6+4+1 = 16
• Sucesión de Fibonacci
  
   

La serie de Fibonacci puede ser encontrada también en el triángulo de Pascal. Dividiendo al mismo según las líneas que mostramos en el diagrama, los números atrapados entre ellas suman cada uno de los elementos de esta sucesión.
Recordemos que esta sucesión (que, por cierto, se construye de manera similar al triángulo de Pascal), es:

1,1,2,3,5,8,13,21,...
(a_n+1 = a_n + a_n-1con a₀ = 1, a₁= 1)

• Potencias de 11
  Podemos interpretar cada fila como un único número. Si la fila está formada por números de un solo dígito, basta unirlos. En el caso de la fila 2 tenemos:
  1-2-1............................ 121 = 11²
  Cuando los números de la fila constan de más de un dígito, se "reparten" para formar el número final como se observa en el ejemplo siguiente para la fila 5:
  1-5-10-10-5-1........... 1-(5+1)-(0+1)-0-5-1=1-6-1-0-5-1 ............ 161051 = 11⁵
• El "stick de hockey"
  
  
  
  
  Cualquier diagonal que empiece en un extremo del triángulo, y de la longitud que sea, cumple la siguiente propiedad:
  La suma de todos los números que la integran se encuentran justo debajo del último de ellos, en la diagonal contraria.
  
• El triángulo de Sierpinski
   
• El curioso dibujo que se forma al pintar de negro los números impares del triángulo y de blanco los pares, recuerda al triángulo de Sierpinski , uun famoso conjunto geométrico (un fractal determinístico que se puede construir a partir de cualquier triángulo).

REFERENCIA: http://www.estadisticaparatodos.es/taller/triangulo/triangulo.html

PRODUCTOS NOTABLES

Cuadrado de la suma de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda

Cubo de un binomio

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad mas el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera mas el segundo al cubo.

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triple del cuadrado de la primera por la segunda mas el triple del cuadrado de la segunda por la primera menos el segundo al cubo.

Cocientes Notables

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades divididas entre la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades es igual a la suma de las cantidades.

Casos de factorización

Caso 1 - Factor común

Cuando se tiene una expresión de dos o más términos algebraicos y si se presenta algún término común, entonces se puede sacar este término como factor común.

Caso 2 - Factor por agrupación de términos

En una expresión de dos, cuatro, seis o un número par de términos es posible asociar por medio de paréntesis de dos en dos o de tres en tres o de cuatro en cuatro de acuerdo al número de términos de la expresión original. Se debe dar que cada uno de estos paréntesis que contiene dos, o tres o mas términos se le pueda sacar un factor común y se debe dar que lo que queda en los paréntesis sea lo mismo para todos los paréntesis o el factor común de todos los paréntesis sea el mismo y este será el factor común.

Caso 3 - Trinomio cuadrado perfecto

Una expresión se denomina trinomio cuadrado perfecto cuando consta de tres términos donde el primero y tercer términos son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta) y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado se eleva al cuadrado.

Caso 4 - Diferencia de cuadrados perfectos

Dos cuadrados que se están restando es una diferencia de cuadrados. Para factorizar esta expresión se extrae la raíz cuadrada de los dos términos y se multiplica la resta de los dos términos por la suma de los dos.

Caso especial: Se puede presentar que uno o los dos términos de la diferencia contenga mas de un término.

Caso especial: Se puede dar una expresión de cuatro términos donde tres de ellos formen un trinomio cuadrado perfecto que al ser factorizado y combinado con el cuarto término se convierta en una diferencia de cuadrados, o pueden ser seis términos que formen dos trinomios cuadrados perfectos y al ser factorizados formen una diferencia de cuadrados.

Caso 5 - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Algunos trinomios no cumplen las condiciones para ser trinomios cuadrados perfectos, el primer y tercer término tienen raíz cuadrada perfecta pero el término de la mitad no es el doble producto de las dos raíces. Se debe saber cuanto debe ser el doble producto y la cantidad que falte para cuadrar el término de la mitad, esta cantidad se le suma y se le resta al mismo tiempo, de tal forma se armara un trinomio cuadrado y factorizado unido con el último término tendremos una diferencia de cuadrados.

Caso especial: factorar una suma de cuadrados, se suma el término que hace falta para formar un trinomio cuadrado perfecto y al mismo tiempo se resta esta misma cantidad, así tendremos un trinomio cuadrado perfecto enseguida una diferencia de cuadrados.

Caso 6 - Trinomio de la forma

Esta clase de trinomio se caracteriza por lo siguiente:

El primer término tiene como coeficiente 1 y la variable esta al cuadrado.
El segundo término tiene coeficiente entero de cualquier valor y signo y la misma variable.
El tercer término es independiente (no contiene la variable).

Para factorar este trinomio se deben abrir dos factores que sean binomios, y donde el primer término de cada binomio es la variable y el segundo término en cada uno de los factores (paréntesis), son dos números , uno en cada paréntesis de tal forma que la suma de los dos del coeficiente del segundo término del trinomio y la multiplicación de los dos del tercer término del trinomio, el signo del segundo término de cada factor depende de lo siguiente:

• ° Si el signo del tercer término es negativo, entonces uno será positivo y el otro negativo, el mayor de los dos números llevara el signo del segundo término del trinomio y el otro número llevara el signo contrario.
  ° Si el signo del tercer término es positivo, entonces los dos signos serán iguales (positivos o negativos), serán el signo del segundo término del trinomio.

Caso 7 - Trinomio de la forma

Este trinomio se diferencia del trinomio cuadrado perfecto en que el primer término puede tener coeficiente diferente de 1.
Se procede de la siguiente forma:
Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término, de esta forma se convierte en un trinomio de la forma:

y se divide por el mismo coeficiente. Se factoriza el trinomio en la parte superior del fraccionario y se simplifica con el número que esta como denominador.

Caso 8 - Cubo perfecto de binomios

Podemos asegurar que una expresión algebraica es un cubo perfecto si cumple las siguientes condiciones:

• ° Posee cuatro términos
  ° El primer y cuarto término son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas exactas).
  ° El segundo termino sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.
  ° El tercer termino sea el triple del cuadrado de la raíz cúbica del último término -multiplicado por la raíz cúbica del primer término.
  ° Los signos son todos mas o también podría ser positivo el primero y el tercero y negativo el segundo y el cuarto.

Para factorizar un cubo perfecto se forma un binomio y se eleva al cubo, el primer término del binomio es la raíz cúbica del primer término y el segundo término es la raíz cúbica del último término. El signo del segundo término es mas si todos los signos del cubo son mas y es menos si los signos del segundo y cuarto término del cubo son menos.

Caso 9 - Suma o diferencia de cubos perfectos

Su nombre lo indica, se reconoce por ser la suma o la resta de dos cubos. Su solución será dos factores, el primero de ellos es un binomio formado por las dos raíces cúbicas de los términos dados, el segundo factor esta formado por tres términos así: la priemra raíz al cuadrado, la primera raíz por la segunda y la segunda raíz al cuadrado. Los signos pueden ser de dos formas acuerdo a lo siguiente:

Caso 10 - Suma o diferencia de dos potencias iguales

Resumamos en la siguiente tabla las posibilidades:

Para an-bn con n = par o impar la factorización será:

Para an-bn con n = par la factorización será:

Para an+bn con n = impar la factorización será:

REFERENCIA: http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas4.html