Es importante conocer este tipo de ecuaciones y dominarlas, ya que sirven para resolver una gran variedad de problemas, los cuales se pueden trazar e interpretar gráficamente.
Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son conocidas como ecuaciones indeterminadas, ya que tienen una infinidad de soluciones. También se les conoce como ecuaciones lineales, en virtud de que su gráfica es una línea recta.
Los problemas que aquí se plantean ayudarán a comprender más fácilmente las ecuaciones con dos incógnitas, por ejemplo:
1. René realizó 2 exámenes y su maestro le dijo que la suma de sus dos calificaciones era 10. ¿Qué calificación obtuvo René en cada examen?
Los datos desconocidos se indicarón con dos literales: el primer examen se identifica con la x y el segundo examen con la y, por lo tanto se formula la siguiente ecuación:
Hay que buscar los valores de las literales, por lo que se procede a despejar y y asignarle valores arbitrarios a x.
Al dar valores arbitrarios a x, se efectuarán las operaciones y se obtendrán los valores de y, para esto se construirá una tabla que refleje algunas soluciones.
si x = 0 si x = 6 si x = 8 si x = 10 | y = 10 - 0 y = 10 - 6 y = 10 - 8 y = 10 - 10 | y = 10 y = 4 y = 2 y = 0 |
De lo anterior, se observa que para cualquier valor asignado a x existe uno para y, por lo que no hay una solución única para el problema.
Si se considera que cada pareja de valores corresponde a las coordenadas de algunos puntos, la tabulación quedará así:
Como puede apreciarse en la gráfica, la solución de la ecuación es una línea recta, donde cada uno de los puntos de la línea resultante representa una pareja de coordenadas de x y y que hacen verdadera la ecuación.
2. Esperanza va a comprar un vestido que cuesta $250, el cual va a pagar con monedas de $20 y $ 10. ¿Cuántas monedas de $20.00 y $ 10.00, necesitará para comprar el vestido?
Al analizar el problema se sabe que se necesitan x monedas de $20.00, así como y monedas de $ 10.00, quedando la ecuación:
Este problema tiene muchas soluciones que pueden satisfacer las condiciones dadas. En la siguiente tabla, se dan diferentes valores a las incógnitas para apreciar las diversas soluciones que tiene:
De las soluciones consideradas se obtienen algunas parejas de valores de x, y, que satisfacen lo requerido en la ecuación del problema y, si se considera que esas parejas son coordenadas de puntos, se tiene la siguiente tabulación:
Mediante la gráfica trazada se pueden dar diversas lecturas a las respuestas de la pregunta del problema, por ejemplo:
o bien
Por todo lo anterior se puede decir que es importante conocer, dominar y aplicar las ecuaciones con dos incógnitas, para resolver muchos de los problemas que pueden tener varias soluciones.
Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Método de sustitución
2 x - y = - 5
4 x + 2 y = 14
a)
2 y = 14 - 4 x
y = 14 / 2 - 4 x / 2
y = 7 - 2 x
b)
2 x - y = 5
2 x - (7 - 2 x ) = 5
2 x - 7 + 2 x = 5
4 x - 7 = 5
4 x = 5 + 7
x = 12 / 4
x = 3
Encontrar el valor de y
a) Tomar cualquiera de las 2 ecuaciones dadas
2 x - y = - 5
b) Reemplazar por el valor de x
2. 3 - y = - 5
6 - y = -5
- y = - 5 - 6
- y = -11
(- 1). ( - y) = ( - 1 ). ( - 11)
y = 11
Método de igualación
x + 3 y = 11
x - 9 y = - 13
a)
x+ 3 y = 11
x1 = 11 - 3 y [1]
x - 9 y = - 13
x2 = - 13 + 9 y [2]
b)
Se igualan las ecuaciones
x1 = x2
Reemplazando
11 - 3 y = - 13 + 9 y
Se agrupan los números que contienen y y los números independientes
11 + 13 = 9 y + 3 y
24 = 12 y
24 / 12 = y
2 = y
c)
Tomar cualquiera de las 2 ecuaciones dadas
x + 3 y = 11
Reemplazar por el valor y encontrado
x + 3. 2 = 11
x + 6 = 11
x = 11 - 6
x = 5
Método de reducción por adición y sustracción
- 9 x - 12 y = 14
30 x + 6 y = - 58
a)
30 x + 6 y = - 58
(2).30 x + 6 y = - 58
60 x + 12 y = - 116
b)
- 9 x - 12 y = 14
60 x + 12 y = - 116
51 x + 0 = 102
x = 102 / 51
x = 2
c)
Tomar cualquiera de las 2 ecuaciones dadas
- 9 x - 12 y = 14
Reemplazar por el valor x encontrado
- 9 . 2 - 12 y = 14
- 18 - 12 y = 14
-12 y = 14 + 18
y = 32 / -12
y = - 8 /3
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