MATEMÁTICAS (ALGEBRA): SISTEMAS DE NÚMEROS

Los métodos para contar las cosas han sido desde siempre algo muy importante para el hombre. No sólo porque en la vida diaria —cualquiera sea la actividad que desarrollemos— el saber contar es una valiosa herramienta, sino porque nuestra concepción de las cantidades depende de cómo contamos. Por más que nos resulte práctico contar mecánicamente, siguiendo un procedimiento que nos enseñaron cuando éramos niños, no deberíamos perder de vista que en esa manera de contar hay algo de arbitrario, que no hay una manera única de contar.

Por ejemplo, nuestra costumbre de agrupar los objetos en conjuntos de diez, no es más que eso: una costumbre. Su origen es obvio: tenemos diez dedos. Todavía hoy los niños aprenden a contar con los dedos. Y aprenden rápidamente. La elección del número diez como base para contar las cosas ha sido, desde este punto de vista, un éxito. Sin embargo, ¿qué tiene de particular el 10? ¿No podríamos nosotros acaso tener cuatro o seis dedos, como algunos animales? ¿Si los seres que dominan la Tierra descendieran de los reptiles por otra línea (no por la de los piteci), contarían de otra manera?

En el siglo XVIII, el naturalista francés Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon (1707-1788), propuso la adopción del sistema dodecimal (de base doce). (Nuestra costumbre de hoy de contar

las mercaderías por docenas tiene su origen en esa sugerencia de Buffon.) La razón es fácil de comprender: el número 10 es un número muy grande para la cantidad de divisores enteros que tiene. Descartando los obvios 1 y 10, sólo se lo puede dividir con resto cero por 2 y por 5. En cambio el doce, apenas mayor, tiene el doble de divisores. Descartados el 1 y el propio 12, quedan el 2, el 3, el 4 y el 6. La ventaja más importante que ofrece el sistema de base doce se puede explicar fácilmente por medio del siguiente ejemplo: en una regla, entre dos líneas consecutivas (una unidad), se hace una marca (para obtener dos medios), cuatro marcas (para obtener cinco quintos) o nueve marcas (para obtener diez décimos) porque todas esas fracciones se expresan con una cifra "decimal". Otras fracciones, en cambio, se escriben de manera más compleja: los cuartos con dos decimales (0,25); los tercios y los sextos con infinitos decimales (0,333… y 0,166…).

En el sistema propuesto por Buffon los tercios, los cuartos, los sextos y las doce avas partes de la unidad se escribirían con una sola cifra "dodecimal". Tratemos de deducir cómo funcionaría.

Para crear un sistema de numeración comparable al nuestro se deben definir tres cosas:
(1) la cantidad de símbolos a emplear (incluyendo el cero);
(2) la manera en que los símbolos se deben ordenar; y
(3) la cantidad de objetos que definen el orden de cantidad siguiente.
Un sistema de este tipo se llama simbólico-posicional. La Historia ha demostrado que éstos son los sistemas con más ventajas. Los sistemas no-simbólicos de algunos pueblos primitivos son de escritura complicada, ya que se deben dibujar los objetos —por ejemplo, como pequeños círculos (representaciones de cuentas)—. Los no-posicionales —como los números romanos— tienen la ventaja de no requerir el cero, pero como contrapartida obligan a usar innumerables símbolos o innumerables veces unos pocos símbolos.

Analicemos primero el sistema en uso hoy en día, el sistema decimal.
(1) Cantidad de símbolos: diez (incluyendo el cero). Este conjunto de símbolos se conoce como notación arábiga.

(2) Los símbolos se escriben en línea horizontal, sin dejar espacios; los que representan grupos más grandes a la izquierda.

(3) Cuando se agota la cantidad de símbolos en una posición se agrega una unidad a la siguiente. (Dada la cantidad de símbolos, ésta es otra manera de decir que la base es diez.) Sin embargo, la coincidencia de la cantidad de símbolos con la base no es obligatoria. Un ejemplo de sistema donde tal coincidencia no se observa es el desarrollado por los mayas, que consta de tres símbolos —para el cero, el uno y el cinco (¿por los dedos de una mano?) y cuya base es veinte (número de días de cada uno de los dieciocho meses de su calendario).

Cada posición (de derecha a izquierda) corresponde a una potencia entera de 10 mayor, partiendo del exponente 0.

De ahí que, en el sistema decimal, digamos que dos números n₁ y n₂están en el mismo orden (de tamaño o magnitud) cuando el mayor es menos de diez veces más grande que el menor.

A diferencia del sistema decimal, un sistema como el sugerido por Buffon tendría doce símbolos y base doce. Mantengamos los símbolos de la notación arábiga tradicional y agreguemos dos más para el 10 y el 11.

Siendo el "9" un símbolo simétrico (respecto del centro) del "6", parece razonable que el símbolo para el 10 sea simétrico del "7" y que el símbolo para el 11 sea el simétrico del "8". Sin embargo, dada la forma del "8", esto último no es posible. Por eso se ha recurrido al "5". A esta notación se la podría llamar arábiga+.

Es fácil comprobar que, haciendo uso de ella, el número decimal 6208 se debería escribir (en el sistema dodecimal) como se indica a continuación.

Las potencias son ahora potencias crecientes de doce

Como se puede observar, la primera cifra —comenzando desde la derecha— corresponde a las unidades, la segunda a las docenas, la tercera a las gruesas (docenas de docenas) y la cuarta a las docenas de gruesas.

En el sistema dodecimal, dos números n₁ y n₂ están en el mismo orden cuando se cumple la relación:

En el esquema snterior se observa que el uso de símbolos comunes a sistemas distintos puede dar lugar a confusiones. Sobre todo cuando la escritura de los números dodecimales no exige usar los simétricos de "5" y "7". Por eso, cuando no resulta claro por el contexto, se acostumbra a indicar la base en que un número se ha escrito. (El convenio aceptado es escribir la base en el sistema decimal.)

Es interesante observar que en los sistemas con símbolos comunes, como el dodecimal y el binario (de base dos), que por su economía de símbolos fascinaba a Leibnitz, el "10" siempre representa a la base.

(De acuerdo a esto, la primera expresión dada para definir la igualdad de órdenes de magnitud es válida para todo sistema, si se interpreta al "10" en la base correspondiente.)

Ésta es la causa por la cual resulta tan fácil extender el algoritmo de la división —concebido originalmente para el sistema decimal— al sistema dodecimal. Dividiendo por "10" (doce) varias veces se obtiene un cociente final y una serie de restos que se corresponden con el dividendo.

Pero volvamos al argumento de Buffon. ¿Cómo se escribiría en el sistema dodecimal la menor fracción que se puede expresar con una cifra después de la coma, es decir con un dodecimal? (Nótese que uso la palabra "cifra" y no "dígito" porque esta última está relacionada con "dedo" y sólo la podría usar con propiedad en este caso quien tuviera doce dedos.) La menor fracción es:

En el sistema de Buffon, toda fracción de la doce ava parte de la unidad que tenga un múltiplo igual a la unidad se escribirá con una sola cifra después de la coma.